soient \(\Omega_1\subset{\Bbb R}^{N_1},\Omega_2\subset{\Bbb R}^{N_2}\) deux ouverts
\(F\in L^1(\Omega_1\times\Omega_2)\)
$$\Huge\iff$$
pour presque tout \(x\in\Omega_1\), \(F(x,y)\in L^1_y(\Omega_2)\) et \(\displaystyle\int_{\Omega_2}F(x,y)\,dy\in L^1_x(\Omega_1)\)
pour presque tout \(y\in\Omega_2\), \(F(x,y)\in L^1_x(\Omega_1)\) et \(\displaystyle\int_{\Omega_1}F(x,y)\,dx\in L^1_y(\Omega_2)\)
de plus, $$\begin{align}\int_{\Omega_1}dx\int_{\Omega_2}F(x,y)\,dy&=\int_{\Omega_2}dy\int_{\Omega_1}F(x,y)\,dx\\ &=\iint_{\Omega_1\times\Omega_2}F(x,y)\,dx\,dy\end{align}$$
